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解題捷徑何處尋


徐若翰

  面對新穎的數學考題,不少同學苦思冥想而難以入手,這時,如果我們能及時改變思維方向,找到破解疑難的切入點,就能在山重水復中看到柳暗花明.

  一、用性質避免計算

  例1直角坐標系中,已知點B(3,0)、C(0,-3),在直線x=1上是否存在點P,使|PB-PC|最大?若存在,求出點P坐標,若不存在,請說明理由.

  分析:難以用坐標計算|PB-PC|,運用軸對稱的性質可使問題迎刃而解.

  作點B關于直線x=1的對稱點B' (-1,0),

  則|PB-PC|=|PB'-PC|≤B'C,

  當點P在線段B'C的延長線上時,|PB'-PC|最大.

  直線B'C的解析式為y=-3x-3,它與直線x=1的交點P(1,-6)就是所求的點.

  二、借計算分析圖形

  例2現有 的正方形紙片和a€譩的矩形紙片(a

  分析:不要用紙片嘗試拼矩形,由因式分解,得

  2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b).

  ∴所拼成矩形的長為a+2b,寬為2a+b.

  三、順向難行改逆向

  例3若方程-=1有增根,試求它的增根.

  分析:從解題步驟的逆向看,增根只可能是x=€?.

  去分母,整理得x2+ mx + m-7=0.

  把x=1代入,求出m=3;

  把x=-1代入,無法求出m.

  ∴m=3,原方程的增根是x=1.

  四、化生成熟用結論

  例4已知線段AB=5,問:與點A距離為1,且與點B距離為2的直線共有幾條?為什么?

  分析:如果以點A為圓心,1為半徑作圓A,那么所求的直線就是⊙A的切線,再以點B為圓心,2為半徑作圓B,所求的直線又是⊙B的切線,因此所求直線是⊙A與⊙B的公切線.

  由AB=5,可知⊙A與⊙B外離,有4條切線,

  ∴所求的直線共有4條.

  五、把握整體省步驟

  例5已知頂點為(-1,-3.2)的拋物線與x軸的一個交點A(1.3,0),求它與x軸的另個交點B.

  分析:如果先求拋物線解析式再求交點,顯然太麻煩.

  由拋物線性質可知:點A、B關于直線x=-1對稱,

  設B(x,0),則1.3-(-1)=-1-x ,

  ∴x=-3.3,點B坐標為(-3.3,0).

  注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。


Tags:捷徑
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